谈谈圆周率为什么必须是无理数，也即无限不循环小数

[寂默心流]

　　最近又看到有人用云计算方法把圆周率计算到了小数点后几十万亿位，这对于现代IT技术来说不算简单的事，因为需要的储存很大，要上百TB，但它也不是很难的事，不过就是使蛮力暴力计算而已。但有个说法让我不爽，说的是还没发现圆周率出现重复数字串，这就违反常识了，就像有人遗憾地说至今还没发现永动机一样。

　　众所周知，圆周率是无理数，也即无限不循环小数。如果圆周率算到几十万亿位后出现循环，那就是无限循环小数了，那么圆周率就是有理数了！可能有人不服，凭啥圆周率就必须是无理数。关于圆周率是无理数的严格数学证明我不会，但我可以借助古老的计算圆周率的割圆术对圆周率不可能是有理数做出说明。

　　假设圆周是有理数，那么它就是一个小数，或者是一个无线循环小数。作为有理数，那它就一定能表示为一个分数。我们假设这个分数就是355/113（这个分数其实是圆周率的密率，呵呵），那么我取圆的直径为113，那么用1为长度分割圆弧就可以画出一个圆内接正355边形，这个正多边形的周长和圆直径的比值就是355/113，也就是圆周率了。那么请问这个正355边形就是和圆完全贴合吗？就不能继续细分割了吗？试看下图：

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　　假如图中AB就是正355边形的一条边，显然这个正355边形没有完全贴合圆形，还缺了355个小的弓形。取弓形圆弧的中点C，连接AC和BC，就可以割圆为内接正710边形，而且这个正710边形的两个小弓形的面积明显小于正355边形的大弓形，正710边形更贴合圆形，它的周长与圆直径的比值比355/113更精确地接近圆周率。

　　矛盾来了，既然有更高精读的割圆方法存在，那么那个355/113就不是圆周率的精确值。由于这个分数只是举的一个例子，上述的质疑方法就保证没有一个分数可以经得住割圆法的反驳，所以圆周率是不可能表示为一个分数的，也即圆周率是无理数。

　　既然圆周率是无理数，是无限不循环小数，所以以后就别再懊恼怎么也找不到圆周率的循环数字串了。

[寂默心流]

　　此文在逻辑上涉嫌循环论证，因为它隐含了一个假设，那就是存在一个正多边形等同于圆形，在数学上这是不可能的。此文作废，但圆周率是无理数的结论没有问题。之所以不删是因为写了半天，留着我以后自己看吧。

　　但是，在真实世界中长度也是量子化的，存在一个最小可测长度，就是普朗克长度，它等于ψ1.61624\times10^{-35}ψ米。那么当上图的CG线段的长度小于等于普朗克长度时，这个正多边形就在现实世界中等同于圆形。于是我们可以求出圆周率的一个精确值，方法是用割圆法不断用正多边形内接一个直径为1的圆，当这个正多边形的边数足够大，以至于求得的CG线段长度不大于普朗克长度时，这个正多边形在真实世界中已经等同于圆形。求出这个正多边形的边长，那就是我们这个真实世界的圆周率。

　　求这个真圆周率已经变成了理解上初中难度，但计算上还是要借助计算机的问题，试解如下：

　　0.5 X（1-cos（180/N））< 普朗克长度

式中N为内接正多边形的边数，可以从10的30次方开始取值。

　　式中的三角函数可以做级数展开，对于每一个N值有效位数保留到小数点后40位够了。

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　　求出N值后，真圆周率就等于：
　　Pai（real）= N * sin(180/N）

　　但是，这个真圆周率不见得就是有理数，它是无理数的概率远大于有理数，这取决于sin(180/N)是不是有理数。看来，计算圆周率这个游戏还真就很难结束呢。