八卦一下数学

[寂默心流]

　　　本来想写“什么是数学”，我扒拉了一下自己的水平，放弃了。但八卦一下数学还是可以的，言论自由嘛，谁都有露怯、犯傻和出丑的自由。

　　我认为要八卦数学就得面对数学的两大基本问题：１、数学是本来就存在，人类只是去发现，还是数学就是人类的创造？２、数学和现实世界是什么关系。两个都是非常棘手的问题啊，有那么多智商逆天的大数学家们甚至以终身交恶的代价来讨论都讨论不清楚啊！我何德何能敢吱一嘴啊。呵呵。

　　对于第一个问题，我认为数学既不是纯粹的先验存在，也不是单纯的人类创造。可能这么说有点扯淡，和稀泥，但情况就是这么个情况，先天派和后天派都能举出足够的论据，但确实没法说服对方啊。

　　数学不太可能是纯粹的人类创造，我就很难接受数学是一种由几条公理出发，用一套逻辑推演形成的原义重复。理由是：1、人的创造是很难解释数学发展到足够复杂的今天，有些隔得非常远的数学分支竟然可以建立起精确的联系，比如椭圆曲线的时钟算术解个数序列和模形式的元素序列能建立起一一对应，这基本就类似于关公战秦琼，还不打不相识，最后成为好朋友了！数学上有朗兰兹纲领，其精神就是“将一些表面看起来不相干的内容建立起来本质联系。”不同数学分支的公理和推导逻辑都是不同的，它们在充分发展后竟然可以精确互洽，这不能完全归功于人的聪明才智，其背后一定有更深刻的内涵。就像宇宙和生物的构造太奇妙了，以至于很多科学家对自己的学科了解越深就越相信一定要归功造物主一样。2、我们发现的数学和可能存在的总数学内容比，可能就相当于实数轴上有理数和无理数的比一样，无理数占绝对多数，实际上按概率算，有理数的概率可以认为是零。而我们掌握并应用的无理数却非常有限。更可悲的是根据哥德尔不完备性定律，有些数学定律是无法证明的，也无法证伪，比如黎曼猜想就是这种情况。请问我们人类是如何可以创造自己无法证明的定律？！这就像宇宙中占95%的暗物质一样。

　　但人在数学的建立中也是充分发挥了主观能动性的，比如自然界本来只有自然数，后来印度发明了零，后来人们又引进负数，复数，甚至四元数，我们普遍使用的是十进制，就因为人的手指是十个，便于大家搬手指，这些都有明显人为的烙印。而且人在研究数学的时候经常脑洞大开，选择很多新的数学对象，并通过嫁接的方式发展出很多新的分支，开枝蔓叶，美不胜收。特别是一些猜想，真的算足够大胆，足够有人定胜天的精神。比如大家熟知的歌德巴赫猜想，其表达就是一个大的偶数一定可以表示为两个素数的和。一个著名的前苏联物理学家就吐槽，明明素数是用来乘的，为啥要用来加！这就是人的参与，人的任性！呵呵。可以这样认为，就像电子在人没有观测前是一种叠加态，只有在人的观测引入后才塌缩为电子，进而有人说月亮在人看它之前是不存在的。同理，数学本身的素材是混沌的，只是人在用逻辑的光芒照耀下他才体现为某些呼应目前逻辑的数学知识，而大部分的数学素材隐藏了。可以想象用不同的公理和逻辑去照耀，同样的数学素材会表现出不同的数学内容。欧式几何和两种非欧几何就是一个生动的例子。

　　第二个问题，我认为推动数学进展的既有现实生活的需要，比如物理、建筑、军事的需要，更有数学家们本身好奇心的驱动和职业发展的逼迫。所以，数学既和现实有密切的联系，这部分数学叫应用数学，也有和现实的结合不那么紧密的，这部分叫纯数学。我们大部分接触到的是应用数学，不太接触到纯数学，由此引发了对数学家们吼出的你们搞的那些东西有什么用的质问，一般来说数学家们不会理会这些数学学弱们的这些可笑问题，但被逼急了也会反驳到，看似没用的数论就可以用于信息加密嘛。不过，我必须指出，信息加密是人的应用，或者说智慧生物的应用，而自然界是用不上信息加密的。所以，数学中确实有单纯追求数学之美和体系完整，而与现实世界脱节的部分。

　　数学的出生和走向的迷还远未解开，我倾向于认为数学是一个可以自身突变的小妖精。

[寂默心流]

　　今天看中科院物理所的公众号，里面发了一篇文章谈为啥负负得正，结论是有解释，没证明。如果用借钱啊，扣分啊也算证明的话，那我也有，正负得负，如果负负得负的话，那么约掉一个负，就变成正等于负，那还发明负数干啥？同样为啥正负得负，不能等于正呢，也可以因为正正得正了，如果正负也得正会推出正等于负的矛盾。

　　其实负负得正不是因为它是天然正确的，因为没法严格证明，只是因为如果它不成立的话，乘法的交换律、结合律和分配律就崩溃了，于是数学也就崩溃了。万一你不服，以负负等于正负的叠加态往前推，说不定能搞出量子数学呢，加油！呵呵。

　　其实乘法的交换律不是必须的，比如矩阵就不满足乘法交换律，但它一点儿不妨碍矩阵运算是最重要，最成功的数学构造，因为矩阵运算在物理研究中有着及其重要的应用，可以说如果没有矩阵运算，现代物理就黄了。