试谈哥德尔第一不完备性定理的流行证明

[寂默心流]

　　昨天刷到了哥德尔第一不完备性定理的证明视频，知道了一个神奇的函数sub(n,n,17)。上网搜这个函数，才知道视频的证法是网络流行的。如果看哥德尔的论文原文，我一定看不懂，但我可以对大家给出的这个改良版证明谈一些看法。

　　先说一下目前这个证明的思路。首先所有的数学判断或命题都可以由以下12个基本数学符号和变量组成的形式语言写出来，哥德尔为这些符合各配了一个数，叫哥德尔数。

　　比如x=1可以写为x=s0，从左向右给他们配上哥德尔数就是13 5 7 6，把这些数作为指数，再从左向后为它们配上素数的基数2 3 5 7，最后把这些幂乘起来，那么这个命题的哥德尔数就是ψ2^{13}\times3^5\times5^7\times7^6=18,296,772,480,000,000ψ。这数有点大了，但这不是重点，没谁真的拿哥德尔数的具体值说事。

　　根据质因数分解定理。每个大于1的自然数都可以被唯一地表示为一组质数的乘积，而且这种表示方式在质数的选择和顺序上是唯一的。所以，每一个命题可以唯一地对应一个哥德尔数，而一个哥德尔数也威仪棣对应一个命题。

　　现在哥德尔构造的神奇函数sub(a,b,c）出场了。它的含义是找到一个哥德尔数为a的命题，在其中找到哥德尔数为c的符号，然后把这个符号替换为b。

　　最烧脑的步骤开始了。我们先做出一个命题：无法证明哥德尔数是sub(z,z,19)的命题。我们把这个命题转换为形式语言后计算得到这个命题的哥德尔数，记为m。

　　再来看这个命题：无法证明哥德尔数是sub(m,m,19)的命题。命题中的sub(m,m,19)函数展开方式是找到哥德尔数为m的命题“无法证明哥德尔数是sub(z,z,19)的命题”，再找到里面哥德尔数为19的符号，这个符号是z，有两个，那么把它们都替换为m，于是得到了展开后的命题是“无法证明哥德尔数是sub(m,m,19)的命题”。注：这时出现了嵌套，而且是无限重的。

　　按照网上的思路开始构建反证法。先假定“无法证明哥德尔数是sub(m,m,19)的命题”是假命题，那么说明可以证明哥德尔数是sub(m,m,19)的命题是真命题，但该命题中sub(m,m,19)展开后明明说“无法证明哥德尔数是sub(m,m,19)的命题”，这又说明“无法证明哥德尔数是sub(m,m,19)的命题”是真命题，与假设构成了矛盾。这样该命题同时是假也是真，这破坏了数学公理体系的一致性。所以只能说之前的假设是错的，那么“无法证明哥德尔数是sub(m,m,19)的命题”这个命题是真命题，却无法被证明。这就是哥德尔第一不完备性定理：

任何一个包含了足够强的算术公理的形式化系统如果是一致的，就是不完备的，即其中必存在一些既不能证明也不能证否的命题。

https://www.cnblogs.com/mornhus-xsylf-1 ... 36703.html

　　我的吐槽是：
　　1、sub(m,m,19)到底是一个数还是一个命题，如果是一个命题它怎么可以在一个命题中是一个数。虽然命题和它的哥德尔数是一一对应的，但在命题中还是不能随意替换的，如果你认为可以完全等价，请给出证明。如果它是一个哥德尔数，那么它就不能再表达展开后的意义了，也就构不成矛盾了。

　　2、sub(m,m,19)展开后形成一个无限嵌套的递归，请问它到底表示肯定还是否定可以确定吗，就像无限数列的和ψ\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^iψ等于0还是1？无限这东西是不能随便截断的，又不是物理。

　　实话说，哥德尔的奇思妙想让我感到震惊与佩服。但用如此模模糊糊的，涉嫌偷换概念的方式证明数学史上非常重要的结论，草率了，儿戏了，还很不名誉。